Третя похідна

У диференційному численні третя похідна, або похідна третього порядку, — це швидкість, з якою змінюється друга похідна. Іншими словами, вона вимірює швидкість зміни швидкості зміни. Третя похідна функції ( f(x) = y ) позначається як:

$$f'''(x), \quad \frac{d^3y}{dx^3}, \quad y^{(3)}$$

Означення

Третя похідна функції ( f(x) ) є похідною її другої похідної:

$$f'''(x) = \frac{d^2}{dx^2} f''(x)$$

Значення третьої похідної

Третя похідна має важливе значення для аналізу функцій. Вона дає інформацію про:

• Опуклість/увігнутість: Позитивна третя похідна вказує на опуклість графіка функції, тоді як негативна третя похідна — на увігнутість.
• Точки перегину: Точка перегину — це точка, де графік функції змінює свою опуклість або увігнутість. Третя похідна в такій точці дорівнює нулю.
• Відхилення: Третя похідна також використовується для вимірювання відхилення функції, яке визначає, наскільки швидко графік "відхиляється" від своєї прямолінійної апроксимації.

Формули третьої похідної

Для деяких поширених функцій формули третьої похідної наведено нижче:

• Постійна функція: ( f(x) = c ), ( f'''(x) = 0 )
• Лінійна функція: ( f(x) = mx + b ), ( f'''(x) = 0 )
• Квадратична функція: ( f(x) = ax^2 + bx + c ), ( f'''(x) = 0 )
• Кубічна функція: ( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d ), ( f'''(x) = 6a )

Приклади

• Для функції ( f(x) = x^3 ), ( f'''(x) = 6 ).
• Для функції ( f(x) = e^x ), ( f'''(x) = e^x ).
• Для функції ( f(x) = \sin x ), ( f'''(x) = -\sin x ).

Третя похідна є важливим інструментом для аналізу функцій. Вона дає інформацію про опуклість, увігнутість, точки перегину та відхилення. Розуміння третьої похідної необхідне для повного розуміння поведінки функцій.

Часто задавані питання

1. Що таке третя похідна?
2. Як позначається третя похідна?
3. Яке значення третьої похідної?
4. Які формули третьої похідної?
5. Наведіть приклади функцій та їх третіх похідних.