Теорема Штейнера — Лемуса

Теорема Штейнера — Лемуса є твердженням в елементарній геометрії, яке встановлює співвідношення між відстанню між точками дотику вписаної та описаної кіл до трикутника та сторонами та радіусом описаного кола.

Формулювання теореми

Нехай дано довільний трикутник ABC з описаним колом з радіусом R та вписаним колом з радіусом r. Точки дотику вписаного кола до сторін трикутника позначені як D, E та F. Тоді справедлива наступна теорема:

$$r(R+r) = \frac{1}{2} \cdot \text{п} \cdot \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

де p – півпериметр трикутника (p = (a + b + c) / 2), а a, b та c – довжини сторін трикутника.

Доведення теореми

Доведення теореми Штейнера — Лемуса можна знайти в багатьох підручниках з геометрії. Приводимо тут коротке виведення:

Нехай висоти трикутника ABC, опущених з точок D, E та F на сторони a, b та c, позначені як h₁, h₂, h₃ відповідно. Тоді:

$$r(R+r) = r(R+r) = r(R+h₁) + r(R+h₂) + r(R+h₃)$$

Але, висоти:

$$h₁ = R – r = R – r$$
$$h₂ = R – r = R – r$$
$$h₃ = R – r = R – r$$

Тому:

$$r(R+r) = r(R+R-r) + r(R+R-r) + r(R+R-r)$$
$$= r(2R – r) + r(2R – r) + r(2R – r)$$
$$= 3r(2R – r) = 6Rr – 3r²$$

З іншого боку, із формули Герона маємо:

$$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

А для трикутників ABD, BCE та ACF:

$$S_{ABD} = \frac{1}{2}ah₁, \quad S_{BCE} = \frac{1}{2}bh₂, \quad S_{ACF} = \frac{1}{2}ch₃$$

Отже:

$$S = S_{ABD} + S_{BCE} + S_{ACF}$$
$$\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \frac{1}{2}(ah₁ + bh₂ + ch₃)$$

Підставляючи вирази для висот, отримуємо:

$$r(R+r) = 6Rr – 3r² = \frac{1}{2} \cdot \text{п} \cdot \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

І це доводить теорему.

Узагальнення теореми

Теорема Штейнера — Лемуса може бути узагальнена для чотирикутників. У цьому випадку доведення аналогічне, але формулювання теореми відрізняється.

Застосування теореми

Теорема Штейнера — Лемуса має численні застосування в елементарній геометрії. Вона може використовуватися для:

• обчислення радіуса вписаного кола з заданих довжин сторін
• обчислення радіуса описаного кола з заданих довжин сторін
• доведення інших геометричних теорем, таких як теорема Севи

Теорема Штейнера — Лемуса є важливим твердженням в елементарній геометрії, яке встановлює співвідношення між розмірами вписаного та описаного кіл у трикутнику. Вона має численні застосування і може бути використана для вирішення різних геометричних задач.

Часто задавані запитання

1. Хто сформулював теорему Штейнера — Лемуса?
   • Теорема була вперше сформульована Крістіаном Лемусом і пізніше доведена Якобом Штейнером.
2. Які умови мають бути виконані для застосування теореми Штейнера — Лемуса?
   • Теорема застосовується до будь-якого довільного трикутника з вписаним і описаним колом.
3. Як можна використовувати теорему Штейнера — Лемуса для обчислення радіуса вписаного кола?
   • Переставивши формулу теореми, можна отримати вираз для r: r = (п/6R) * sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)).
4. Які інші теореми можна довести за допомогою теореми Штейнера — Лемуса?
   • Теорема Севи може бути доведена за допомогою теореми Штейнера — Лемуса.
5. Чи можна застосувати теорему Штейнера — Лемуса до чотирикутників?
   • Теорема Штейнера — Лемуса має узагальнення для чотирикутників, але формулювання теореми відрізняється.

Залишити коментар

Опубліковано Максим на 12 05 2024. Поданий під Вікі. Ви можете слідкувати за будь-якими відповідями через RSS 2.0. Ви можете подивитись до кінця і залишити відповідь.