Теорема про суму двох квадратів

Постановка теореми

Теорема про суму двох квадратів стверджує, що для будь-якого цілого числа $n>1$ можна визначити, чи можна його представити як суму двох квадратів цілих чисел, тобто як $n=a^2+b^2$ для деяких цілих чисел $a$ і $b$, шляхом аналізу розкладу $n$ на прості множники.

Умова теореми

$n$ можна представити як суму двох квадратів тоді і тільки тоді, коли:* $n$ непарне;* всі показники простих множників виду $4k+3$ у розкладі $n$ на прості множники парні.

Доведення

В одному напрямку (необхідність):* Нехай $n=a^2+b^2$ для деяких цілих чисел $a$ і $b$. Тоді $n$ непарне, оскільки сума двох квадратів завжди парна.* Припустимо, що $p$ – простий множник $n$ виду $4k+3$. Тоді $p^2|n$, але $p^3\backslash nmidn$. Це неможливо, оскільки квадрат будь-якого цілого числа має парний показник при будь-якому простому множнику.В іншому напрямку (достатність):* Нехай $n$ – непарне число, і всі показники простих множників виду $4k+3$ у розкладі $n$ на прості множники парні.* Можна побудувати два множини цілих чисел $A$ і $B$ за допомогою індукції по кількості простих множників $n$.* Припустимо, що розклад $n$ на прості множники має вид $n=p^{2k}m$, де $p$ – простий множник виду $4k+1$, а $m$ – непарне число, яке не ділиться на $p$. Тоді можна взяти $A=\{pa:a\in B\}$ та $B=\left\{\right(pa+1)/2:a\in A\}$. Це доводить, що $n$ можна представити як суму двох квадратів.

Приклади

* Число $13$ можна представити як суму двох квадратів, оскільки воно непарне і його розклад на прості множники не містить простих множників виду $4k+3$. Наприклад, $13=2^2+3^2$.* Число $45$ не можна представити як суму двох квадратів, оскільки його розклад на прості множники містить простий множник $5$ виду $4k+ У вас є запитання чи ви хочете поділитися своєю думкою? Тоді запрошуємо написати їх в коментарях! У вас є запитання до змісту чи автора статті? НАПИСАТИ Поділитися:⚡⚡⚡ Топ-новини дня ⚡⚡⚡ Хто такий Такер Карлсон? Новий законопроект про мобілізацію З травня пенсію підвищать на 1000 гривень Популярність: 5Рекомендуємо:ЯК ЗНАЙТИ СУМУ ДВОХ ВЕКТОРІВ?СКІЛЬКИ КВАДРАТІВЯКУ БАТАРЕЮ ТРЕБА НА 20 КВАДРАТІВ?Функція суми квадратівЗалишити коментар Натисніть сюди, щоби скасувати відповідь. Ім'я (обов'язково) Пошта (не буде опубліковано) (обов'язково) Опубліковано Максим на 05 12 2024. Поданий під Вікі. Ви можете слідкувати за будь-якими відповідями через RSS 2.0. Ви можете подивитись до кінця і залишити відповідь.ХОЧЕТЕ СТАТИ АВТОРОМ?Запропонуйте свої послуги за цим посиланням.Останні коментаріМаксим до ЩО ТАКЕ МАГНІТНИЙ СЕПАРАТОР І ДЛЯ ЧОГО ВІН ПРИЗНАЧЕНИЙ ПОВІДОМЛЕННЯ?Роман до ЩО ТАКЕ МАГНІТНИЙ СЕПАРАТОР І ДЛЯ ЧОГО ВІН ПРИЗНАЧЕНИЙ ПОВІДОМЛЕННЯ?Тетяна до ЩО КРАЩЕ ЦИНАБСИН ЧИ СИНУПРЕТПолiна до ЩО КРАЩЕ СИНУПРЕТ ЧИ ЦИНАБСИННаталя до ЯК І ЧИМ ПРОМИВАТИ НІС ПРИ ГАЙМОРИТІ?Олеся до ЯК КРАЩЕ ПРИЙМАТИ БІОТИННаталя до КОМУ ПОТРІБЕН БІОТИН?Марiя до ЯК КРАЩЕ ЛІКУВАТИ ГАЙМОРИТ В ДОМАШНІХ УМОВАХАнжела до ЯК ЛІКУВАТИ ПАРОНІХІЮ В ДОМАШНІХ УМОВАХ?Максим до НАРИВ НА НОЗІ – – ЩО РОБИТИ Останні новини Що значить лікарський засіб rx Що значить лячно Що значить лтд Що значить лс Що значить лп Що значить лояльний Що значить локаційно втрачені шахеди в україні Що значить локаційно втрачені шахеди Що значить локаційно втрачені дрони Що значить локаційно втрачені бпла в україні Що значить локаційно втрачені бпла Що значить локаційно втрачені Що значить локаційно втрачено шахед Що значить локаційно втрачено Що значить локаційно втрачений дрон Що значить локаційно втрачений безпілотник Що значить локаційно втрачений Що значить ловити рибу уві сні Що значить ловити гав Що значить лмао◀ Попередня стаття Пошук по сайту Наступна стаття▶ ВійнаІнтернетСпортКультураЕкономікаРоботаВідпочинокСільське господарствоПодорожіНаукаКонтакти :: РедакціяВикористання будь-яких матеріалів, розміщених на сайті, дозволяється за умови посилання на Reporter.zp.ua.Редакція не несе відповідальності за матеріали, розміщені користувачами та які помічені "реклама". $