Теорема Ньютона

Теорема Ньютона в геометрії Евкліда

Означення

У геометрії Евкліда стверджує, що:

У будь-якому описаному чотирикутнику, за винятком ромба, центр вписаного кола лежить на прямій, яка називається прямою Ньютона.

Пряма Ньютона

Пряма Ньютона – це пряма, яка з'єднує середини діагоналей описуючого чотирикутника.

Доведення

Нехай ABCD – описаний чотирикутник, O – центр вписаного кола, M і N – середини діагоналей AC і BD відповідно.

За доведенням:

1. Прямокутні трикутники AOM і CON подібні, оскільки вони мають спільний кут M.
2. Таким чином, AO:OC = AM:CN.
3. Аналогічно прямокутні трикутники BOM і DON подібні, що призводить до BO:OD = BM:DN.
4. Оскільки AM = BM і CN = DN (середини діагоналей), то з рівнянь (2) і (3) випливає, що AO:OC = BO:OD.
5. Отже, O лежить на прямій MN, яка є прямою Ньютона.

Виняток: Ромб

Єдиним описуваним чотирикутником, де теорема Ньютона не виконується, є ромб. У ромбі центр вписаного кола збігається з центром ромба, який не обов'язково лежить на прямій Ньютона.

Застосування

Теорема Ньютона використовується для:

• Визначення центру вписаного кола в описаному чотирикутнику
• Доведення інших властивостей описуваних чотирикутників
• Розв'язування геометричних задач, пов'язаних з описаними чотирикутниками

Теорема Ньютона – важливий результат у геометрії Евкліда, який описує розташування центру вписаного кола в описуваному чотирикутнику. Однак це правило не застосовується до ромбів, де центр вписаного кола знаходиться в іншому місці.

Часті запитання

1. Що таке описаний чотирикутник?
   • Це чотирикутник, у який можна вписати коло так, що кожна сторона чотирикутника дотикається кола.
2. Що таке пряма Ньютона?
   • Пряма, що з'єднує середини діагоналей описаного чотирикутника.
3. Чи виконується теорема Ньютона для ромба?
   • Ні, у ромбі центр вписаного кола не обов'язково лежить на прямій Ньютона.
4. Для чого використовується теорема Ньютона?
   • Для визначення центру вписаного кола в описаному чотирикутнику та розв'язування геометричних задач.
5. Хто відкрив теорему Ньютона?
   • Ісаак Ньютон

Залишити коментар

Опубліковано Максим на 23 04 2024. Поданий під Вікі. Ви можете слідкувати за будь-якими відповідями через RSS 2.0. Ви можете подивитись до кінця і залишити відповідь.