Теорема Менелая

Теорема Менелая – це теорема про трикутник на площині, яка пов'язує колінеарність точок на його сторонах з відношеннями довжин відповідних відрізків. Вперше була сформульована Менелаєм з Александрії (бл. 100 до н. е.).

Формулювання

Нехай дано трикутник ABC і точки D, E, F на прямих BC, AC, AB відповідно. Точки D, E, F колінеарні (лежать на одній прямій) тоді і тільки тоді, коли:

BD/DC * AE/EC * CF/FB = -1

Зауважте: Знак мінус (-) у формулі вказує на те, що точки D, E, F лежать на різних прямих, якщо відношення довжин відрізків дорівнює 1.

Доведення

Необхідність:

Припустимо, що точки D, E, F колінеарні. Тоді трикутник ABC можна розбити на два трикутники: ABD і ACF.

З теореми Чеви для точок D, E, F отримуємо:

BD/DC * AE/EC * CF/FB = 1

Однак, оскільки D, E, F колінеарні, відношення довжин відрізків повинно бути оберненим, тобто:

BD/DC * AE/EC * CF/FB = -1

Достатність:

Припустимо, що виконується рівність:

BD/DC * AE/EC * CF/FB = -1

Тоді з теореми Чеви маємо, що точки D, E, F лежать на одній прямій.

Застосування

Теорема Менелая має різноманітні застосування, зокрема:

• Для визначення колінеарності точок на сторонах трикутника
• Для знаходження відношень довжин відрізків у трикутнику
• Для доведення інших теорем геометрії
• Для розв'язування задач на геометричні побудови

Приклад

Розглянемо трикутник ABC з точками D, E, F на сторонах BC, AC, AB відповідно. Відомо, що BD = 3, DC = 2, AE = 6, EC = 4, CF = 5.

Застосувавши теорему Менелая, отримуємо:

BD/DC * AE/EC * CF/FB = 3/2 * 6/4 * 5/5 = -1

Оскільки відношення довжин відрізків дорівнює -1, точки D, E, F колінеарні.

Теорема Менелая – це потужна теорема, яка використовується для дослідження колінеарності точок і вивчення відношень довжин відрізків у трикутниках. Вона має широке застосування в різних областях геометрії та інших дисциплінах.

Часті запитання

1. Що означає колінеарність точок?
   • Колінеарність точок означає, що вони лежать на одній прямій.
2. Що таке теорема Чеви?
   • Теорема Чеви – це аналогічна теорема Менелая, яка застосовується до перетину медіан у трикутнику.
3. Як застосувати теорему Менелая?
   • Запишіть вираз для відношення довжин відрізків, як зазначено в теоремі, і перевірте, чи дорівнює він -1.
4. Чи може теорема Менелая бути використана для знаходження довжин відрізків?
   • Так, але тільки в тому випадку, якщо відомі довжини інших відрізків і співвідношення довжин.
5. Чи є теорема Менелая важливою в геометрії?
   • Так, це важлива теорема, яка використовується для доведення інших теорем і для розв'язування геометричних задач.

Залишити коментар

Опубліковано Максим на 13 05 2024. Поданий під Вікі. Ви можете слідкувати за будь-якими відповідями через RSS 2.0. Ви можете подивитись до кінця і залишити відповідь.