Теорема Менелая

Визначення

Теорема Менелая – це теорема про трикутник на площині, яка співвідносить положення трьох точок, що лежать на прямих, що містять сторони трикутника.

Історія

Теорема була сформульована Менелаєм з Александрії приблизно в 100 році до нашої ери.

Твердження теореми

Нехай дано трикутник ABC і точки D, E, F, що лежать на прямих BC, AC, AB відповідно. Тоді точки D, E, F колінеарні тоді і тільки тоді, якщо виконується наступне співвідношення:

BD/DC * CE/EA * AF/FB = 1

Доведення

Пряме:

Припустимо, що точки D, E, F колінеарні. Тоді трикутники ADE та BFD мають спільну основу BF і трикутники CDF і BCE мають спільну основу BC. Отже, за подобою трикутників маємо:

BD/DC = EA/AF
CE/EA = FB/BD

Перемноживши ці співвідношення, отримуємо:

BD/DC * CE/EA * AF/FB = 1

Зворотне:

Припустимо, що виконується співвідношення:

BD/DC * CE/EA * AF/FB = 1

Тоді, перетворивши це співвідношення, отримаємо:

BD/FB * CE/EA * AF/DC = 1

За подобою трикутників маємо:

BD/FB = AE/AF
CE/EA = DF/DC

Перемноживши ці співвідношення, отримаємо:

AE/AF * DF/DC = 1

Це означає, що точки A, D, E, F лежать на одній прямій, тобто точки D, E, F колінеарні.

Застосування

Теорема Менелая використовується для вирішення різних задач на геометрії трикутників, таких як:

• Доведення колінеарності точок
• Знаходження координат точок
• Доведення теореми Чеви
• Розв'язання задач на подібність трикутників

Теорема Менелая є важливою теоремою в геометрії трикутників. Вона встановлює зв'язок між положенням трьох точок, що лежать на прямих, що містять сторони трикутника, і його використовують для доведення інших теорем та розв'язання задач.

Питання, що часто задаються:

• Хто сформулював теорему Менелая?
  • Менелай з Александрії
• Яке твердження теореми Менелая?
  • Якщо точки D, E, F лежать на прямих BC, AC, AB відповідно, то D, E, F колінеарні тоді і тільки тоді, коли BD/DC * CE/EA * AF/FB = 1.
• Які застосування теореми Менелая?
  • Доведення колінеарності точок, знаходження координат точок, доведення теореми Чеви.
• Які передумови теореми Менелая?
  • Надано трикутник і три точки на його сторонах.
• Які наслідки теореми Менелая?
  • Дозволяє вивести інші геометричні теореми, такі як теорема Чеви.

Залишити коментар

Опубліковано Максим на 26 05 2024. Поданий під Вікі. Ви можете слідкувати за будь-якими відповідями через RSS 2.0. Ви можете подивитись до кінця і залишити відповідь.