Супремум

Супремум (Точна Верхня Межа)

Що таке Супремум?

, також відомий як точна верхня межа, є найменшим елементом в частково впорядкованій множині, який більший або дорівнює кожному елементу даної підмножини. Іншими словами, це найменша "верхня" межа множини.

Позначення:

Супремум підмножини S в частково впорядкованій множині (P,≤) позначається як sup S.

Умова Супремуму:

Щоб довести, що елемент x є супремумом підмножини S, необхідно показати, що:

• x є верхньою межею S, тобто x ≥ s для всіх s в S.
• x є найменшою верхньою межею S, тобто для будь-якої іншої верхньої межі y з S, x ≤ y.

Властивості Супремуму:

• Супремум підмножини не обов'язково належить самій підмножині.
• Супремум будь-якої непустої підмножини частково впорядкованої множини існує, якщо множина обмежена зверху.
• Супремум підмножини унікальний, якщо множина обмежена зверху.
• Супремум об'єднання двох підмножин є найменшою з верхніх меж їх супремумів.
• Супремум перетину двох підмножин є найбільшою з нижніх меж їх супремумів.

Застосування Супремуму:

Супремум широко використовується в різних галузях математики, таких як:

• Аналіз: Для визначення найменшої верхньої межі послідовності або функції.
• Математичний аналіз: Для вивчення збіжності та неперервності функцій.
• Теорія міри: Для визначення супремуму збіжної послідовності мір.

Приклад:

Розглянемо підмножину S = {1, 2, 3} частково впорядкованої множини (R, ≤). Супремумом S є 3, оскільки це найменший елемент у R, який більший або дорівнює 1, 2 і 3.

:

Супремум є важливим поняттям в частково впорядкованих множинах, що дозволяє визначити найменшу верхню межу даної підмножини. Він широко використовується в різних галузях математики та має фундаментальне значення для аналізу послідовностей, функцій і мір.

Часті запитання:

1. Що відрізняє супремум від верхньої межі?
2. Як довести, що елемент є супремумом?
3. Які властивості супремуму?
4. Де використовується супремум у математиці?
5. Чи завжди супремум належить підмножині, для якої він визначений?

Залишити коментар

Опубліковано Максим на 24 04 2024. Поданий під Вікі. Ви можете слідкувати за будь-якими відповідями через RSS 2.0. Ви можете подивитись до кінця і залишити відповідь.