Симплектична геометрія

Визначення та основні поняття

Симплектична геометрія – це галузь диференціальної геометрії та диференціальної топології, яка вивчає симплектичні многовиди. Симплектичний многовид – це гладкий многовид з обраною замкнутою невиродженою 2-формою.

2-форма – це диференціальна форма другого ступеня. Замкнута 2-форма – це форма, зовнішня похідна якої дорівнює нулю. Невироджена 2-форма – це форма, яка не дорівнює нулю жодній точці многовиду.

Походження та застосування

Симплектична геометрія виникла з гамільтонового формалізму в класичній механіці. У гамільтоновій механіці фазовий простір представляється як симплектичний многовид. Це дозволяє використовувати симплектичні методи для аналізу та вирішення проблем класичної механіки.

Сьогодні симплектична геометрія застосовується в різних галузях, включаючи:

• Фізику, де вона використовується для опису динамічних систем та теорії струн.
• Геометрію, де вона використовується для вивчення канонічних перетворень та симплектичної топології.
• Алгебраїчну геометрію, де вона використовується в теорії дзеркальної симетрії.

Основні теореми

У симплектичній геометрії існують важливі теореми, що характеризують властивості симплектичних многовидів.

• Теорема Дарбу стверджує, що кожен симплектичний многовид локально ізоморфний стандартному симплектичному простору.
• Теорема Ліувілля стверджує, що симплектичний об'єм замкнутого симплектичного многовиду зберігається.
• Теорема Мозера стверджує, що будь-який гамільтонів векторне поле на компактному симплектичному многовиді має принаймні одну періодичну орбіту.

Гамільтонові системи та інтегрувальні системи

Гамільтонова система – це динамічна система, що визначається функцією Гамільтона. Гамільтонів формалізм описує еволюцію системи в термінах симплектичної форми і гамільтоніана.

Інтегрувальні системи – це гамільтонові системи, для яких існують достатньо інтегралів руху. Інтегрувальні системи відіграють важливу роль у фізиці, оскільки вони допускають точні аналітичні розв'язки.

Симплектична топологія

Симплектична топологія вивчає топологічні властивості симплектичних многовидів. Симплектичні багатовиди мають деякі унікальні топологічні властивості, які відрізняють їх від інших гладких многовидів.

Наприклад, симплектичні многовиди мають цілу симплектичну гомологію, яка грає важливу роль у симплектичній топології.

Симплектична геометрія – це потужний інструмент у диференціальній геометрії, диференціальній топології та фізиці. Вона надає геометричну структуру гамільтоновим системам і дозволяє аналізувати їх у термінах диференціальних форм. Симплектична геометрія є багатим і активним полем досліджень з багатьма невирішеними проблемами.

Часто задаються питання

1. Що таке симплектична форма?
2. Чим відрізняється симплектичний многовид від звичайного гладкого многовиду?
3. Які застосування симплектичної геометрії?
4. Що таке інтегрувальна система?
5. Які найважливіші теореми у симплектичній геометрії?

Залишити коментар

Опубліковано Максим на 26 05 2024. Поданий під Вікі. Ви можете слідкувати за будь-якими відповідями через RSS 2.0. Ви можете подивитись до кінця і залишити відповідь.