Простір Lp

Визначення

Простір Lp, позначений як L^p, є лінійним простором вимірних функцій, визначених на вимірному просторі з мірою Лебега, для яких абсолютна величина в степені p є інтегровною функцією.

Умови

• 1 ≤ p < ∞: Простір L^p складається з усіх вимірних функцій f, таких що

∫ |f(x)|^p dx < ∞

• p = ∞: Простір L^∞ складається з усіх вимірних функцій f, таких що

sup{|f(x)|} < ∞

Властивості

• Простір Lp є Банаховим простором з нормою

||f||_p = (∫ |f(x)|^p dx)^(1/p)

• L^2 є гільбертовим простором з внутрішнім добутком

= ∫ f(x)g(x) dx

• Простір L^p є вкладеним у простір L^q для p < q.

Типи просторів Lp

Існують різні типи просторів Lp, залежно від природи вимірного простору:

• L^p(X, μ): Простір вимірних функцій на вимірному просторі (X, μ).

• L^p(N): Простір вимірних функцій на множині натуральних чисел.

• L^p(R): Простір вимірних функцій на дійсній прямій.

• L^p(R^n): Простір вимірних функцій на n-вимірному евклідовому просторі.

Застосування

Простір Lp широко застосовуються в математиці та її застосуваннях, зокрема:

• Теорія ймовірності
• Обробка сигналів
• Теорія управління
• Чисельний аналіз

Приклади

• L^2(0, 1) складається з усіх вимірних функцій на інтервалі (0, 1), для яких квадрат абсолютної величини інтегрується. Це також відомий як простір квадратних інтегровних функцій.

• L^1(R) складається з усіх вимірних функцій на дійсній прямій, для яких абсолютна величина інтегрується.

Простори Lp є фундаментальними в математиці та мають численні застосування. Вони забезпечують зручну основу для вивчення вимірних функцій та їх інтегрування.

Часті запитання

1. Які умови для функцій, щоб належати до простору Lp?
2. Які різні типи просторів Lp існують?
3. Як визначається норма в просторі Lp?
4. Чи є простір L2 гільбертовим простором?
5. Наведіть приклад простору Lp і функції, яка до нього належить.

Залишити коментар

Опубліковано Максим на 23 04 2024. Поданий під Вікі. Ви можете слідкувати за будь-якими відповідями через RSS 2.0. Ви можете подивитись до кінця і залишити відповідь.