Простір Гарді

Простір Гарді — це особливий тип функціональних просторів у комплексному аналізі, який є аналогом простору Lp з функціонального аналізу. Він названий на честь англійського математика Годфрі Гарольда Гарді.

Визначення

Простір Гарді H² — це клас функцій, визначених trên на одиничному диску комплексної площини, для яких послідовність їх коефіцієнтів Фур’є належить до двостороннього простору Lp, тобто:

$$\Vert f \Vert_{H^2} = \left( \sum_{n=-\infty}^\infty |a_n|^2 \right)^{1/2} < \infty$$

де (a_n) — коєфіцієнти Фур’є функції (f).

Властивості

Простір Гарді має ряд важливих властивостей:

• Це є банаховим простором з нормою, визначеною вище.
• Він є замкнутим підпростором простору L².
• Мультиплікаторне відображення на будь-яку граничну функцію на одиничному диску є обмеженим лінійним оператором на H².
• Кожна функція з H² має граничні значення майже всюди на одиничному колі.

Застосування

Простір Гарді знайшов численні застосування в комплексному аналізі, теорії операторів та інших галузях математики. Ось деякі з найбільш поширених застосувань:

• Дослідження функцій, аналітичних на одиничному диску.
• Вивчення граничних значень функцій з простору H².
• Побудова теорії функцій із обмеженою середньою коливання.
• Дослідження операторів типу Топліца.

Розширення

Існує ряд розширень простору Гарді H². Одним із найважливіших є простір Гарді-Смірнова H², який складається з функцій, для яких їх граничні значення майже всюди на одиничному колі належать до простору L².

Простір Гарді — це фундаментальний функціональний простір у комплексному аналізі, який має широке застосування в різних галузях математики. Його вивчення сприяло значному прогресу в теорії аналітичних функцій, граничних значень та інших важливих областях.

Часто задавані питання

1. Що таке простір Гарді?
2. Чим простір Гарді відрізняється від простору L²?
3. Які основні властивості простору Гарді?
4. Які типові застосування простору Гарді в математиці?
5. Чи існують розширення простору Гарді?

Залишити коментар

Опубліковано Максим на 20 05 2024. Поданий під Вікі. Ви можете слідкувати за будь-якими відповідями через RSS 2.0. Ви можете подивитись до кінця і залишити відповідь.