Поворот Ґівенса

Поворот Ґівенса – це лінійне перетворення векторного простору, яке описує поворот у площині двох координатних осей. Застосовується в чисельному лінійному алгебри та має широке застосування в обробці сигналів, статистичному аналізі та розв’язанні лінійних систем.

Матриця повороту Ґівенса

Поворот Ґівенса визначається матрицею:

G (i, k, θ) = [ c θ -s θ 0 … 0 s θ c θ 0 … 0 0 0 1 … 0 … … … … 1 0 0 0 … 1]

де:

• i та k – індекси координатних осей для повороту
• θ – кут повороту
• c θ = cos(θ)
• s θ = sin(θ)

Кути повороту

Кут повороту θ може набувати будь-якого значення від 0 до 2π. Вибір кута визначає напрямок повороту:

• 0 ≤ θ < π/2 – поворот проти годинникової стрілки
• π/2 ≤ θ < π – поворот за годинниковою стрілкою
• θ = π/2 – поворот на 90 градусів за годинниковою стрілкою
• θ = π – поворот на 180 градусів
• θ = 3π/2 – поворот на 90 градусів проти годинникової стрілки
• θ = 2π – поворот на 360 градусів (не змінює вектор)

Властивості обертання Ґівенса

• Зберігає довжину вектора.
• Ортогональне перетворення, тобто його обернена дорівнює його транспонованій.
• G (i, k, θ) * G (i, k, -θ) = I, де I – одинична матриця.
• Може бути використаний для реалізації повороту у довільному двомірному підпросторі.

Застосування

Поворот Ґівенса використовується для:

• Розв'язання лінійних систем
• QR-розкладання
• Обчислення сингулярного значення
• Обробка сигналів (наприклад, поворот Фур’є)
• Стиснення сигналу (наприклад, перетворення Хадамара)

Поворот Ґівенса є фундаментальним інструментом у чисельному лінійному алгебрі. Він забезпечує ефективний спосіб реалізації поворотів у векторному просторі і використовується в широкому спектрі застосувань.

Часті запитання

1. Який діапазон значень кута повороту θ?
2. Як поворот Ґівенса зберігає довжину вектора?
3. Як використовувати поворот Ґівенса для розв'язання лінійних систем?
4. У яких застосуваннях використовується поворот Ґівенса?
5. Які основні властивості повороту Ґівенса?

Залишити коментар

Опубліковано Максим на 02 12 2024. Поданий під Вікі. Ви можете слідкувати за будь-якими відповідями через RSS 2.0. Ви можете подивитись до кінця і залишити відповідь.