Поляризаційна тотожність

Визначення

У лінійній алгебрі поляризаційна тотожність виражає скалярний добуток двох векторів у нормованому векторному просторі через їхні норми. Вона формулюється так:

$$\langle x, y \rangle = \frac{1}{4} \left( \Vert x + y \Vert^2 – \Vert x – y \Vert^2 \right)$$

де:

• $\langle x, y \rangle$ – скалярний добуток векторів $x$ та $y$
• $\Vert x \Vert$ – норма вектора $x$

Доведення

Поляризаційну тотожність можна довести, використовуючи розподільну та комутативну властивості скалярного добутку:

$$\begin{split} \langle x, y \rangle &= \frac{1}{4} \left( \Vert x + y \Vert^2 – \Vert x – y \Vert^2 \right) \\ &=\frac{1}{4} \left( \langle x + y, x + y \rangle – \langle x – y, x – y \rangle \right) \\ &=\frac{1}{4} \left( \langle x, x \rangle + 2 \langle x, y \rangle + \langle y, y \rangle – \langle x, x \rangle + 2 \langle x, y \rangle – \langle y, y \rangle \right) \\ &=\frac{1}{4} \left( 4 \langle x, y \rangle \right) \\ &=\langle x,y \rangle \end{split}$$

Зв'язок із нормою, породженою скалярним добутком

Поляризаційна тотожність показує, що норма в нормованому векторному просторі може бути породжена скалярним добутком. Якщо

$$\Vert x \Vert = \sqrt{\langle x, x \rangle}$$

тоді поляризаційна тотожність еквівалентна

$$\Vert x + y \Vert^2 = \Vert x \Vert^2 + 2 \langle x, y \rangle + \Vert y \Vert^2$$

що є властивістю норми, породженою скалярним добутком.

Застосування

Поляризаційна тотожність має численні застосування в лінійній алгебрі, геометрії та інших розділах математики. Наприклад, вона використовується для:

• Знаходження кута між двома векторами
• Доведення нерівності Коші-Буняковського
• Визначення ортогональності векторів

Узагальнення

Поляризаційну тотожність можна узагальнити для більшої кількості векторів. Наприклад, для трьох векторів $x$, $y$ та $z$ вона має вигляд:

$$\langle x, y \rangle \langle y, z \rangle \langle x, z \rangle = \frac{1}{8} \left( \Vert x + y + z \Vert^2 \Vert x + y – z \Vert^2 \Vert x – y + z \Vert^2 \Vert -x + y + z \Vert^2 \right)$$

Поляризаційна тотожність є важливим результатом у лінійній алгебрі, який пов'язує скалярний добуток векторів з їхніми нормами. Вона має численні застосування в різних розділах математики та фізики.

Часті запитання

1. Що таке поляризаційна тотожність?
2. Як довести поляризаційну тотожність?
3. Який зв'язок між поляризаційною тотожністю та нормою, породженою скалярним добутком?
4. Де використовується поляризаційна тотожність?
5. Як узагальнити поляризаційну тотожність для більшої кількості векторів?

Залишити коментар

Опубліковано Максим на 03 05 2024. Поданий під Вікі. Ви можете слідкувати за будь-якими відповідями через RSS 2.0. Ви можете подивитись до кінця і залишити відповідь.