Поліноміальний розподіл

Поліноміальний розподіл

Вступ

У теорії імовірностей поліноміальний розподіл виникає як узагальнення біноміального розподілу. Таким чином, він розширює концепцію біноміального розподілу на випадки з кількома категоріями результатів.

Означення

Поліноміальний розподіл визначається наступними параметрами:

* Кількість випробувань: `n` (ціле, додатне число)
* Кількість категорій результатів: `k` (ціле, додатне число)
* Ймовірності категорій результатів: `p_1, p_2, ..., p_k` (де `p_i` є ймовірністю появи результату категорії i і `p_1 + p_2 + ... + p_k = 1`)

Ймовірнісна масова функція

Ймовірнісна масова функція поліноміального розподілу визначається так:

P(X_1 = x_1, X_2 = x_2, …, X_k = x_k) = (n! / (x_1! x_2! … x_k!)) * p_1^x_1 * p_2^x_2 * … * p_k^x_k

де `X_i` – кількість успіхів у категорії `i` (i = 1, 2, …, k).

Властивості

Поліноміальний розподіл має такі основні властивості:

* Середнє значення: `E(X_i) = n * p_i`
* Дисперсія: `Var(X_i) = n * p_i * (1 – p_i)`
* Коваріація: `Cov(X_i, X_j) = -n * p_i * p_j` (для `i ≠ j`)

Зв’язок з біноміальним розподілом

Поліноміальний розподіл з `k = 2` категоріями спрощується до біноміального розподілу. Отже, біноміальний розподіл можна розглядати як окремий випадок поліноміального розподілу.

Застосування

Поліноміальний розподіл має широке застосування в різних галузях, таких як:

* Аналіз даних про опитування
* Азартні ігри та азартні ігри
* Моделювання результатів експериментів
* Оцінка надійності систем

Висновок

Поліноміальний розподіл є важливим розподілом ймовірностей, який розширює концепцію біноміального розподілу на випадки з кількома категоріями результатів. Його властивості та застосування роблять його цінним інструментом для моделювання та аналізу ймовірнісних подій.

Часті запитання

1. Що таке поліноміальний розподіл?
2. Яка різниця між поліноміальним та біноміальним розподілами?
3. Яке середнє значення поліноміального розподілу?
4. Де поліноміальний розподіл знаходить застосування?
5. Як розрахувати ймовірність для заданої послідовності результатів, використовуючи поліноміальний розподіл?

Залишити коментар

Опубліковано Максим на 27 04 2024. Поданий під Вікі. Ви можете слідкувати за будь-якими відповідями через RSS 2.0. Ви можете подивитись до кінця і залишити відповідь.