Ознака Раабе

Ознака Раабе – Ознака Раабе (ознака Раабе — Дюамеля)

Що таке Ознака Раабе?

– ознака збіжності числових рядів з додатніми членами. Вона стверджує, що ряд збігається, якщо існує таке число ε > 0, що для всіх членів ряду n>N виконується нерівність:

(1/a[n]) * (a[n+1] – a[n]) > ε

де a[n] – загальний член ряду.

Історія виникнення

Ознаку Раабе незалежно один від одного відкрили німецький математик Йозеф Людвіг Раабе та французький математик Жан-Марі Дюамель у 1847 році. Саме тому вона також відома як ознака Раабе – Дюамеля.

Доведення ознаки

Доведення означаки Раабе базується на наступній лемі:

• Якщо ряд збіжний, то існує таке число N, що для всіх n > N ряди

∑(k=n+1 до ∞) a[k] та ∑(k=n+1 до ∞) a[k]/k

є збіжними.

Зворотна лема невірна, тобто існує ряд, для якого збіжність рядів з леми не свідчить про збіжність початкового ряду.

Нехай ряд з додатніми членами a[n] збігається. Тоді згідно з лемою, для деякого числа N існує таке ε > 0, що для всіх n > N виконується:

∑(k=n+1 до ∞) a[k] < ε та ∑(k=n+1 до ∞) a[k]/k < ε

Нехай n > N. Тоді:

(1/a[n]) * (a[n+1] – a[n]) = (1/a[n]) * (∑(k=n+1 до n+1) a[k] – ∑(k=n+1 до n) a[k]) > (1/a[n]) * (ε – ε) = ε > 0

Звідси випливає твердження ознаки Раабе.

Приклад використання

Розглянемо ряд:

∑(n=1 до ∞) (1/n)

Згідно з ознакою Раабе:

(1/a[n]) * (a[n+1] – a[n]) = (1/(1/n)) * ((1/(n+1)) – (1/n)) = n/(n+1) > 1/2 > 0 для всіх n > 1

Оскільки виконується нерівність, згідно з ознакою Раабе ряд збігається.

Випадки, коли ознака Раабе не працює

Існують ряди, для яких ознака Раабе не дозволяє встановити збіжність або розбіжність ряду. Наприклад, для ряду:

∑(n=1 до ∞) (1/n^2)

виконується ознака Раабе, але довести його збіжність засобами ознаки неможливо.

Ознака Раабе – один з найпоширеніших тестів для визначення збіжності рядів з додатніми членами. Вона проста у використанні і дозволяє визначити збіжність багатьох рядів, навіть якщо вони не задовільняють ознаці порівняння або ознаці раціональних меж. Однак слід пам'ятати, що ознака Раабе не працює для всіх рядів.

Часто задавані питання

1. Які умови повинні виконуватися, щоб скористатися ознакою Раабе?
   Відповідь: Члени ряду повинні бути додатними.
2. Чи можна використовувати ознаку Раабе для рядів зі знаком мінус?
   Відповідь: Ні, ознака Раабе не може бути використана для рядів зі знаком мінус.
3. Чи існує аналог ознаки Раабе для рядів зі знаком мінус?
   Відповідь: Так, це ознака Бертрана.
4. Чи є ознака Раабе більш потужною, ніж ознака порівняння?
   Відповідь: Так, ознака Раабе більш потужна, ніж ознака порівняння.
5. Чи може ознака Раабе визначити збіжність всіх збіжних рядів з додатніми членами?
   Відповідь: Ні, ознака Раабе не може визначити збіжність всіх збіжних рядів з додатніми членами.

Залишити коментар

Опубліковано Максим на 30 04 2024. Поданий під Вікі. Ви можете слідкувати за будь-якими відповідями через RSS 2.0. Ви можете подивитись до кінця і залишити відповідь.