Обмежена послідовність
Визначення обмеженої послідовності
У математиці обмеженою послідовністю є числова послідовність ({a_n : n ≥ 1}), для якої існує дійсне додатне число (C) таке, що для будь-якого (n) більше або дорівнює 1 абсолютне значення (a_n) не перевищує (C). Тобто:
$$\exists C\in \mathbf {R^{+}} \quad \forall n\geq 1:|a_{n}|\leq C$$
Множина значень такої послідовності називається обмеженою.
Приклад обмеженої послідовності
Послідовність ({a_n = \sin(n)}) є обмеженою, оскільки для всіх (n) маємо:
$$-1 \leq \sin(n) \leq 1$$
Тому ми можемо вибрати (C = 1), і всі члени послідовності будуть не більші ніж (C).
Необмежена послідовність
Необмежена послідовність – це послідовність, яка не є обмеженою. Отже, для будь-якого дійсного додатного числа (C) існує такий член послідовності ({a_k}) зі значенням строго більшим за (C).
Типи обмежених послідовностей
- Зверху обмежена послідовність: існує додатне число (B) таке, що для всіх (n) маємо (a_n \leq B).
- Знизу обмежена послідовність: існує додатне число (A) таке, що для всіх (n) маємо (a_n \geq A).
- Обмежена послідовність є як зверху, так і знизу обмеженою.
Властивості обмежених послідовностей
- Область значень обмеженої послідовності є замкнутим інтервалом.
- Обмежена послідовність є послідовністю Коші.
- Обмежена послідовність може бути як збіжною, так і розбіжною.
Обмежені послідовності є важливим поняттям в аналізі та мають безліч застосувань у різних галузях математики та її додатків.
Часто задавані питання
1. Що таке обмежена послідовність?
Обмежена послідовність має обмежену множину значень, тобто існує число, яке обмежує абсолютну величину всіх її членів.
2. Чим відрізняється обмежена послідовність від необмеженої?
Необмежена послідовність не має обмеженої множини значень, тобто існує довільно велике число, яке перевершує абсолютну величину деяких членів послідовності.
3. Чи може обмежена послідовність бути збіжною?
Так, обмежена послідовність може бути збіжною, тобто мати границю.
4. Чи є послідовність ({a_n = \log(n)}) обмеженою?
Ні, оскільки для будь-якого позитивного числа (C), якщо вибрати (n) достатньо великим, отримаємо ({a_n} > C).
5. Які властивості мають обмежені послідовності?
Обмежені послідовності є послідовностями Коші та мають замкнуті обмежені множини значень.
Опубліковано