Нормальна підгрупа
Нормальні підгрупи
Визначення
Нормальна підгрупа (інваріантна підгрупа) — це підгрупа, яка залишається незмінною (інваріантною) при будь-якому перетворенні всієї групи. Це означає, що для довільного елемента нормальноï підгрупи та довільного елемента всієї групи добуток належить до цієї підгрупи.
Тобто, якщо G — група, а H — підгрупа G, то H є нормальною підгрупою тоді і тільки тоді, коли для всіх g з G та h з H виконується:
g • h • g⁻¹ ∈ H
Еквівалентні означення
Нормальна підгрупа також може бути визначена за допомогою наступних еквівалентних умов:
- Лівий (правий) інваріантність: Лівий (правий) клас суміжності будь-якого елемента з нормальною підгрупою є підмножиною нормальноï підгрупи.
- Централізатор: Нормальна підгрупа є централізатором самої себе. Тобто, централізатор нормальноï підгрупи H складається з усіх елементів групи G, які комутують з усіма елементами H.
- Збіг класів суміжності: Для будь-якого елемента групи всі ліві класи суміжності збігаються з усіма правими класами суміжності.
Властивості
- Будь-яка нормальна підгрупа є замкнутою відносно операції групи (добутку елементів).
- Множина косодобуtkів нормальних підгруп є нормальною підгрупою.
- Перетин будь-якої колекції нормальних підгруп є нормальною підгрупою.
- Будь-яка підгрупа з індексом 1 (тобто вся група) і підгрупа з індексом 2 є нормальною підгрупою.
Фактор-група
Інваріантна підгрупа використовується для побудови фактор-групи по заданій групі. Фактор-група утворюється діленням множини G на нормальну підгрупу H. Множина класів суміжності групи G по H є групою щодо операції, визначеної як взяття представника з одного класу суміжності й представника з іншого класу суміжності та взяття їхнього косодобутку.
Приклади
- У симетричній групі S3 група (1 2) є нормальною підгрупою.
- У дійсних числах з операцією додавання множина раціональних чисел є нормальною підгрупою.
- У групі оборотних квадратних матриць з n x n група діагональних матриць є нормальною підгрупою.
Нормальні підгрупи є важливим поняттям в теорії груп. Вони дозволяють будувати фактор-групи, які дають цінну інформацію про структуру групи. Інваріантність нормальних підгруп відіграє ключову роль у багатьох абстрактних результатах в теорії груп.
Часто задавані питання
- Що таке нормальна підгрупа?
- Які умови еквівалентні визначенню нормальноï підгрупи?
- Як побудувати фактор-групу по заданій групі?
- Наведіть приклади нормальних підгруп.
- Які властивості мають нормальні підгрупи?
Опубліковано