Нормальна матриця

Визначення

Нормальна матриця – це квадратна матриця з комплексними елементами, яка задовольняє наступну умову:

$$ AA^* = A^* A $$

де $A^*$ – спряжена матриця до $A$.

Альтернативні визначення

Існують інші еквівалентні визначення нормальної матриці:

• Унітарно-діагоналізована матриця: Нормальна матриця може бути представлена у вигляді $UDU^*$, де $U$ – унітарна матриця, а $D$ – діагональна матриця з дійсними власними значеннями.
• Ермітова матриця, що комутує зі своєю спряженою: Нормальна матриця є ермітовою матрицею (тобто $A^* = A$) і комутує зі своєю спряженою матрицею, тобто $AA^* = A^* A$.

Властивості

• Сpektrum є дійсним: Всі власні значення нормальної матриці є дійсними числами.
• Базис з власних векторів: Існує повний базис з власних векторів нормальної матриці, який є ортогональним.
• Комутативність: Дві нормальні матриці, що мають однаковий розмір, комутують між собою.
• Діагоналізація: Нормальна матриця може бути діагоналізована за допомогою унітарного перетворення.

Приклади

• Дійсна симетрична матриця: Дійсна симетрична матриця є нормальною.
• Комплексна унітарна матриця: Комплексна унітарна матриця є нормальною.
• Матриця Паулі:
  $$ \sigma_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad \sigma_2 = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \qquad \sigma_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} $$

є нормальними матрицями.

Застосування

• Квантова механіка: Нормальні матриці використовуються для представлення ермітових операторів у квантовій механіці.
• Лінійна алгебра: Нормальні матриці відіграють важливу роль у теорії лінійних просторів.
• Математичний аналіз: Нормальні матриці використовуються у вивченні голоморфних функцій.

Нормальні матриці – це важливий клас матриць, які мають унікальні властивості та знаходять широке застосування в різних галузях математики та науки.

Часто задавані запитання

1. Що таке спряжена матриця?
   

   Спряжена матриця до $A$ – це матриця $A^*$, елементи якої є комплексними спряженими до відповідних елементів $A$.

2. Чому всі нормальні матриці мають дійсний спектр?
   

   Оскільки нормальні матриці комутують зі своїми спряженими матрицями, їх власні вектори є також власними векторами спряжених матриць. Власні значення спряженої матриці є комплексними спряженими до власних значень початкової матриці, і, оскільки нормальні матриці є ермітовими, їх власні значення повинні бути дійсними.

3. Як діагоналізувати нормальну матрицю?
   

   Нормальні матриці можуть бути діагоналізовані за допомогою унітарного перетворення, яке складається з їх власних векторів.

4. Чому унітарні матриці є нормальними?
   

   Унітарні матриці є ермітовими і мають ортонормальні власні вектори, що задовольняє визначення нормальної матриці.

5. Де я можу знайти додаткову інформацію про нормальні матриці?
   

   Ви можете знайти додаткову інформацію в підручниках з лінійної алгебри, квантової механіки та математичного аналізу.

Залишити коментар

Опубліковано Максим на 14 04 2024. Поданий під Вікі. Ви можете слідкувати за будь-якими відповідями через RSS 2.0. Ви можете подивитись до кінця і залишити відповідь.