Норма (математика)

Норма в математиці

Визначення

У математиці норма — це функція, визначена на лінійному просторі над полем дійсних чисел, яка має такі властивості:

• Не від'ємна: Для будь-якого вектора v із лінійного простору ||v|| ≥ 0
• Однорідна: Для будь-якого скаляра c і вектора v із лінійного простору ||cv|| = |c|||v||
• Нерівність трикутника: Для будь-яких двох векторів u і v із лінійного простору ||u + v|| ≤ ||u|| + ||v||
• На нуль: ||0|| = 0, де 0 — нульовий вектор

Норма є узагальненням поняття довжини вектора в евклідовому просторі.

Галузі застосування

Норми мають численні застосування в різних галузях математики, зокрема:

• Функціональний аналіз: Визначення просторів Банаха та Гільберта
• Оптимізація: Вирішення задач оптимізації та лінійного програмування
• Теорія ймовірностей: Вивчення розподілу ймовірностей
• Обчислювальна математика: Розв'язання систем лінійних рівнянь

Типи норм

Існує багато різних типів норм, які можуть бути визначені на лінійному просторі. Найпоширенішими є:

• Евклідова норма: Для вектора v = (v1, v2, …, vn) евклідова норма визначається як ||v|| = √(v1² + v2² + … + vn²)
• Норма таксі: Для вектора v = (v1, v2, …, vn) норма таксі p-го порядку визначається як ||v|| = (|v1|^p + |v2|^p + … + |vn|^p)^(1/p), де p ≥ 1
• Верхня норма: Для вектора v = (v1, v2, …, vn) верхня норма визначається як ||v|| = max{|v1|, |v2|, …, |vn|}

Перетворення норм

Норми можуть бути перетворені одна на одну. Два типи норм ||.|| і ||.||' на лінійному просторі називаються еквівалентними, якщо існує два додатних числа c і d такі, що c||v|| ≤ ||v||' ≤ d||v|| для будь-якого вектора v із лінійного простору.

Властивості норм

Норми мають низку важливих властивостей, зокрема:

• Еквівалентність норм: Якщо дві норми на лінійному просторі є еквівалентними, то вони породжують ту саму топологію.
• Неперервність: Норма є неперервною функцією на лінійному просторі.
• Оцінювання: Норма вектора може бути використана для оцінювання відстані між цим вектором та нульовим вектором.

Норми — це потужні математичні інструменти, які використовуються для вимірювання довжини векторів у лінійних просторах. Вони мають широке застосування в багатьох галузях математики та мають низку важливих властивостей, що робить їх ефективними для кількісної оцінки та аналізу векторних просторів.

Часто запитані питання

1. Що таке норма в математиці?
2. Які галузі застосування норм?
3. Які існують різні типи норм?
4. Чи можуть різні норми породжувати однакові топології?
5. Які властивості мають норми?

Залишити коментар

Опубліковано Максим на 08 05 2024. Поданий під Вікі. Ви можете слідкувати за будь-якими відповідями через RSS 2.0. Ви можете подивитись до кінця і залишити відповідь.