Модуль (математика)

Означення

У математиці модуль або абсолютне значення дійсного числа x — це невід'ємне значення x без урахування його знаку. Позначається модуль вертикальними рисками: |x|.

Наприклад, модуль числа 5 дорівнює 5, а модуль числа -5 також дорівнює 5. Модуль нуля дорівнює нулю.

Властивості модуля

Модуль має такі властивості:

• Негативність модуля: |x| ≥ 0 для всіх дійсних чисел x.
• Властивість трикутника: Для будь-яких двох дійсних чисел x і y виконується |x + y| ≤ |x| + |y|.
• Рівність модулів: |x| = |y| тоді й лише тоді, коли x = y або x = -y.
• Множення модулів: |xy| = |x||y| для будь-яких двох дійсних чисел x і y.
• Модуль від'ємного числа: |-x| = |x| для будь-якого дійсного числа x.

Геометрична інтерпретація модуля

Геометрично модуль числа можна інтерпретувати як відстань від початку координат до точки на числовій осі, яка відповідає даному числу. Наприклад, модуль числа 5 дорівнює відстані від 0 до 5, а модуль числа -5 дорівнює відстані від 0 до -5.

Застосування модуля

Модуль широко використовується в різних галузях математики, включаючи:

• Вимірювання відстаней і довжин.
• Визначення значень функцій.
• Розв'язування рівнянь.
• Оптимізація.

Приклади застосування

• Знайти відстань між точками (2, 3) і (5, 7):

|5 – 2| + |7 – 3| = 3 + 4 = 7

• Визначити значення функції f(x) = |x – 2| при x = 3:

|3 – 2| = 1

• Розв'язати рівняння |x + 1| = 5:

x + 1 = 5 або x + 1 = -5
x = 4 або x = -6

Модуль є важливим поняттям у математиці, яке використовується для вимірювання відстаней, визначення значень функцій і розв'язування рівнянь. Він має низку корисних властивостей і широко застосовується в різних галузях.

Часто задавані запитання

1. Який знак має модуль?

   • Модуль завжди невід'ємний.

2. Яка геометрична інтерпретація модуля?

   • Геометрично модуль можна інтерпретувати як відстань від початку координат до точки, яка відповідає даному числу на числовій осі.

3. Яка формула модуля комплексного числа?

   • Узагальнено, модуль комплексного числа z = a + bi визначається як |z| = sqrt(a^2 + b^2), де a і b — дійсні частини комплексного числа.

4. Чи можна використовувати модуль для знаходження відстані між двома комплексами?

   • Ні, модуль комплексного числа не визначає відстань між двома комплексами. Для цього використовується Евклідова відстань.

Залишити коментар

Опубліковано Максим на 24 04 2024. Поданий під Вікі. Ви можете слідкувати за будь-якими відповідями через RSS 2.0. Ви можете подивитись до кінця і залишити відповідь.