Модуль без кручень – довідка

# вікіпедія, Популярність: невелика

Модуль без кручення — модуль

M

{\displaystyle M}

над кільцем

K

{\displaystyle K}

, такий що з рівності

α
m
=
0

{\displaystyle \alpha m=0}

, де

α

{\displaystyle \alpha }

— елемент

K

{\displaystyle K}

, який не є дільником нуля, і

m
∈
M

{\displaystyle m\in M}

, випливає, що

m
=
0

{\displaystyle m=0}

.

Визначення модуля без кручення

Модулем без кручення над кільцем K називається модуль M, такий що з рівності αm = 0, де α — елемент K, який не є дільником нуля, і m ∈ M, випливає, що m = 0.

Еквівалентні умови

Для модуля M над кільцем K наступні умови є еквівалентними:

1. M є модулем без кручення.
2. Для будь-якого ненульового елемента α ∈ K і будь-якого ненульового елемента m ∈ M існує такий елемент β ∈ K, що αβm = 0.
3. Якщо α ∈ K є дільником нуля, то αm = 0 для будь-якого m ∈ M.

Приклади

1. Множина всіх дійсних чисел із звичайним додаванням і множенням утворює модуль без кручення над кільцем раціональних чисел.
2. Множина всіх многочленів із цілими коефіцієнтами утворює модуль без кручення над кільцем цілих чисел.
3. Множина всіх нескінченних послідовностей дійсних чисел із звичайним додаванням і множенням утворює модуль без кручення над кільцем дійсних чисел.

Властивості

1. Будь-який підмодуль модуля без кручення є модулем без кручення.
2. Фактор-модуль модуля без кручення за підмодулем є модулем без кручення.
3. Пряма сума модулів без кручення є модулем без кручення.
4. Якщо M і N є модулями без кручення над кільцем K, то M ⊗_K N є модулем без кручення над K.

Застосування

Модулі без кручення використовуються в різних областях математики, включаючи алгебру, геометрію і топологію.

Висновок

Модулі без кручення є важливим класом модулів, які мають численні застосування в математиці. Вони характеризуються тим, що будь-який ненульовий елемент модуля не може бути помножений на ненульовий елемент кільця на нуль. Модулі без кручення мають ряд властивостей, що робить їх зручними для роботи, і використовуються в різних областях математики, включаючи алгебру, геометрію і топологію.

Поширені запитання

1. Що таке модуль без кручення?
2. Які еквівалентні умови для модуля без кручення?
3. Які приклади модулів без кручення?
4. Які властивості модулів без кручення?
5. Де використовуються модулі без кручення?

Залишити коментар

Опубліковано Максим на 23 12 2023. Поданий під Технології. Ви можете слідкувати за будь-якими відповідями через RSS 2.0. Ви можете подивитись до кінця і залишити відповідь.