Ін’єкція (математика)
“`html
Визначення ін’єкції
В математиці ін’єкція (ін’єктивне відображення, ін’єктивна функція) — це бієктивне відображення між двома множинами, при якому різним елементам множини-області визначення відповідають різні елементи множини-області значень. Іншими словами, у ін’єкції жодна пара різних елементів області визначення не зображається в один і той самий елемент області значень.
Щоб формально визначити ін’єкцію, нам потрібні наступні позначення:
* A – множина-область визначення
* B – множина-область значень
* f(x) – зображення елемента x із множини A у множину B
Тоді f: A → B є ін’єкцією, якщо для всіх x, y у множині A, якщо x ≠ y, тоді f(x) ≠ f(y).
Властивості ін’єкції
Ін’єкції мають ряд корисних властивостей, включаючи:
* Ін’єкція – це функція 1-до-1 (один до одного).
* Ін’єкція є також сюр’єкцією (сюрективне відображення) тоді і тільки тоді, коли A і B мають однакову кількість елементів.
* Композиція двох ін’єкцій також є ін’єкцією.
* Зворотне відображення ін’єкції (якщо воно існує) також є ін’єкцією.
Приклади ін’єкції
Розглянемо наступні приклади ін’єкцій:
* Відображення f: N → N, яке зіставляє кожне натуральне число його квадрату, є ін’єкцією, оскільки жодні два різних натуральних числа не мають однакових квадратів.
* Відображення f: R → R, яке зіставляє кожне дійсне число його синусу, не є ін’єкцією, оскільки існує нескінченно багато різних дійсних чисел, які мають однаковий синус.
* Відображення f: {ABC, DEF} → {1, 2, 3}, яке зіставляє кожну трилітерну послідовність букв її цифровим еквівалентом, є ін’єкцією, оскільки жодні дві різні трилітерні послідовності не мають однакових цифрових еквівалентів.
Використання ін’єкції
Ін’єкції широко використовуються в різних областях математики та інформатики, включаючи:
* Визначення порядкових відношень
* Створення хеш-функцій
* Доведення теорем про існування і єдиність
Ін’єкція є важливим математичним поняттям, що описує відношення між елементами двох множин, при якому різним елементам області визначення відповідають різні елементи області значень. Ін’єкції мають ряд корисних властивостей і використовуються в широкому діапазоні застосувань.
Питання, що часто задаються
1. Яка різниця між ін’єкцією та сюр’єкцією?
2. Які властивості має ін’єкція?
3. Наведіть приклади ін’єкцій.
4. Де використовуються ін’єкції?
5. Чи є зворотне відображення ін’єкції завжди ін’єкцією?
“`
Опубліковано