Формула д’Аламбера

Формула Д'Аламбера

Формула Д'Аламбера — математичне рівняння, яке описує розв'язання задачі Коші для одновимірного хвильового рівняння. Назване на честь французького математика і фізика Жана Ле Рона Д'Аламбера, який вивів його в 1747 році.

Означення

Нехай (u(x, t)) — розв'язок одновимірного хвильового рівняння:

$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2},$$

де (c) — швидкість поширення хвилі. Задача Коші для цього рівняння задається початковими умовами:

$$u(x,0) = f(x), \quad \frac{\partial u}{\partial t}(x,0) = g(x),$$

де (f(x)) і (g(x)) — задані функції.

Формула Д'Аламбера дає розв'язок цієї задачі:

$$u(x,t) = \frac{1}{2} \left[ f(x-ct) + f(x+ct) \right] + \frac{1}{2c} \int_{x-ct}^{x+ct} g(\xi) d\xi$$

Іншими словами, розв'язок в точці (x) у час (t) складається з двох хвиль, які поширюються в протилежних напрямках і несуть початкові дані для (f(x)) і (g(x)) відповідно.

Виведення

Формулу Д'Аламбера можна вивести шляхом методу характеристик. Характеристикими рівняння є:

$$\frac{dt}{dx} = \pm c$$

Розв'язуючи ці рівняння, отримуємо:

$$t = \pm \frac{x}{c} + C,$$

де (C) — константа. Це означає, що хвилі поширюються вздовж прямих ліній з нахилом (1/c) або (-1/c).

Використовуючи характеристичні рівняння, можна перетворити хвильове рівняння на систему двох звичайних диференціальних рівнянь:

$$\frac{d}{dt} \left[ u \pm \frac{1}{c} \frac{\partial u}{\partial x} \right] = 0.$$

Розв'язуючи цю систему з початковими умовами, отримуємо формулу Д'Аламбера.

Застосування

Формула Д'Аламбера використовується для розв'язування широкого спектру задач у фізиці та інженерії, які моделюються за допомогою хвильового рівняння. Наприклад:

• Поширення звукових хвиль
• Поширення світлових хвиль
• Вібрації струн і мембран

Формула Д'Аламбера є потужним інструментом для розв'язування задач, що описують хвильове поширення. Вона дозволяє визначити розв'язок задачі Коші для одновимірного хвильового рівняння, зокрема, знайти амплітуду і швидкість поширення хвилі.

Часто задавані питання

1. Хто відкрив формулу Д'Аламбера?
2. Яке рівняння описує формула Д'Аламбера?
3. Чи можна застосовувати формулу Д'Аламбера для розв'язання тривимірного хвильового рівняння?
4. Які обмеження на початкові дані для задачі Коші, щоб можна було застосувати формулу Д'Аламбера?
5. Як модифікується формула Д'Аламбера для хвильового рівняння з змінними коефіцієнтами?

Залишити коментар

Опубліковано Максим на 17 04 2024. Поданий під Вікі. Ви можете слідкувати за будь-якими відповідями через RSS 2.0. Ви можете подивитись до кінця і залишити відповідь.