Дія групи

Дія Групи на Множині

Визначення

(G, *) на множині X — це відображення:

G × X → X
(g, x) ↦ g·x

де:

• G — група
• X — множина
• g — елемент групи G
• x — елемент множини X
• g·x — результат дії елемента g на елемент x

Закони

Дія групи задовольняє наступним законам:
1. Закон ідентичності:

e·x = x

де e — нейтральний елемент групи G

2. Закон асоціативності:

(gh)·x = g·(h·x)

Орбіти та Стабілізатори

Орбіта елемента x ∈ X при дії групи G — це множина:

Gx = {g·x | g ∈ G}

Стабілізатор елемента x ∈ X при дії групи G — це підгрупа H групи G, яка залишає x незмінним:

H = {g ∈ G | g·x = x}

Приклади

1. Симметрія

Дія групи симетрії на фігурі — це відображення, яке перетворює фігуру на себе.

2. Дії груп Лі

Дії груп Лі на многовидах мають важливе значення в геометрії, фізиці та інших галузях.

3. Дії перестановок

Дія групи перестановок на множині — це перестановка елементів множини.

Властивості

Дії груп мають ряд важливих властивостей:

1. Ізоморфізм орбіт. Орбіти елементів із однаковими стабілізаторами ізоморфні.

2. Формула класів спряженості. Кількість класів спряженості групи G дорівнює сумі розмірів орбіт елементів X при дії групи G.

Дія групи на множині — це фундаментальне поняття в математиці, яке використовується для опису широкого спектра явищ, від симетрії фігур до поведінки фізичних систем.

Часто Задаються Питання

1. Що таке орбіта елемента при дії групи?
2. Як визначити стабілізатор елемента при дії групи?
3. Які основні властивості дій груп?
4. Наведіть приклад дії групи на множині.
5. Чому поняття дії групи є важливим у математиці?

Залишити коментар

Опубліковано Максим на 04 05 2024. Поданий під Вікі. Ви можете слідкувати за будь-якими відповідями через RSS 2.0. Ви можете подивитись до кінця і залишити відповідь.