Дерево відрізків

У інформатиці, дерево відрізків це деревоподібна структура даних, яка застосовується для зберігання даних у відрізках, згрупованих так, що відомо, які з них містять дану точку.

Дерево відрізків є ефективною структурою даних для розв'язання таких задач, як:

• Визначення мінімуму або максимуму на заданому відрізку
• Оновлення елемента на заданому відрізку
• Сумування елементів на заданому відрізку
• Діапазонний запит у відрізках

Структура дерева відрізків

Дерево відрізків складається з набору вузлів, які представляють відрізки на числовій лінії. Вузли розташовані в деревоподібній структурі, де кожен вузол має максимум двох нащадків, які представляють підвідрізки відрізка відповідного вузла.

Будівництво дерева відрізків

Дерево відрізків можна побудувати за допомогою рекурсивного алгоритму:

• Якщо відрізок містить лише одну точку, створюємо листовий вузол і зберігаємо в ньому значення цієї точки.
• Інакше, ділимо відрізок навпіл і рекурсивно будуємо лівий і правий підвиди дерева.
• Зберігаємо в поточному вузлі значення операції, яка застосовується до значень лівого і правого дочірніх вузлів (наприклад, мінімум або сума).

Пошук в дереві відрізків

Щоб знайти значення операції на заданому відрізку, застосовуємо рекурсивний алгоритм:

• Якщо відрізок, представлений поточним вузлом, повністю міститься в заданому відрізку, повертаємо значення вузла.
• Інакше, перевіряємо, міститься лівий підвід у заданому відрізку, і, якщо так, рекурсивно викликаємо алгоритм для цього підвіда.
• Аналогічно перевіряємо правий підвід.
• Повертаємо значення, отримане в результаті виклику для дочірніх вузлів, об'єднане відповідно до операції, яка зберігається в поточному вузлі.

Оновлення дерева відрізків

Для оновлення значення на певному відрізку також застосовуємо рекурсивний алгоритм:

• Якщо відрізок, представлений поточним вузлом, повністю міститься в заданому відрізку, оновлюємо значення вузла.
• Інакше, перевіряємо, міститься лівий підвід у заданому відрізку, і, якщо так, рекурсивно викликаємо алгоритм для цього підвіда.
• Аналогічно перевіряємо правий підвід.
• Оновлюємо значення поточного вузла на основі нових значень дочірніх вузлів.

Асимптотична складність

• Будівництво: O(n log n)
• Пошук: O(log n)
• Оновлення: O(log n)

Дерево відрізків є потужною структурою даних, яка використовується для ефективного зберігання і доступу до даних в відрізках на числовій лінії. Його логарифмічна асимптотична складність робить дерево відрізків особливо корисною для розв'язання задач з великими обсягами даних.

Часто задаються питання

1. Що таке дерево відрізків?

   • Деревоподібна структура даних для зберігання даних у відрізках.

2. Для чого використовується дерево відрізків?

   • Визначення мінімуму/максимуму, оновлення елементів, сумування елементів, діапазонні запити.

3. Яка асимптотична складність дерева відрізків?

   • Будівництво: O(n log n), пошук і оновлення: O(log n).

4. Як будується дерево відрізків?

   • Рекурсивний алгоритм, який розбиває відрізки і будує їх підвиди.

5. Як виконується пошук в дереві відрізків?

   • Рекурсивний алгоритм, який перевіряє, чи заданий відрізок міститься в поточному вузлі або його підвідах.

Залишити коментар

Опубліковано Максим на 17 04 2024. Поданий під Вікі. Ви можете слідкувати за будь-якими відповідями через RSS 2.0. Ви можете подивитись до кінця і залишити відповідь.