Алгоритм Штрассена

Алгоритм Штрассена – це алгоритм, розроблений Фолькером Штрассеном у 1969 році, призначений для швидкого множення матриць. Він є узагальненням методу множення Карацуби на матриці, що дозволяє множити матриці швидше, ніж стандартний метод.

Стандартне множення матриць

Стандартний метод множення матриць передбачає перемноження елементів рядків однієї матриці на елементи стовпців іншої матриці з подальшим підсумовуванням результатів. Для матриць розміру n x n це вимагає O(n^3) операцій.

Алгоритм Штрассена

Алгоритм Штрассена розбиває матриці на підматриці, які потім множаться та об'єднуються для отримання результату. Цей процес повторюється рекурсивно, поки всі підматриці не стануть розміром 1 x 1.

Переваги та недоліки

Переваги алгоритму Штрассена:

• Швидше за стандартний метод для матриць великого розміру.
• Відносно легко реалізувати.
• Є фундаментальним алгоритмом для подальших розробок у галузі множення матриць.

Недоліки алгоритму Штрассена:

• Для малих матриць стандартний метод є більш ефективним.
• Існують більш швидкі алгоритми, такі як алгоритм Копперсміта — Вінограда.

Рекурсивна формула

Для матриць A і B розміру n x n рекурсивна формула алгоритму Штрассена має такий вигляд:

C = [
a11 * b11 + a12 * b21
a21 * b11 + a22 * b21
]
[
a11 * b12 + a12 * b22
a21 * b12 + a22 * b22
]

де A = [a11, a12], [a21, a22], B = [b11, b12], [b21, b22], а C – результуюча матриця.

Приклад

Розглянемо множення матриць:

A = [1 2]
[3 4]

B = [5 6]
[7 8]

Використовуючи алгоритм Штрассена:

C11 = [1 2] * [5 6] + [3 4] * [7 8] = [19 22]
C12 = [1 2] * [7 8] + [3 4] * [5 6] = [15 18]
C21 = [5 6] * [1 2] + [7 8] * [3 4] = [27 30]
C22 = [5 6] * [3 4] + [7 8] * [1 2] = [21 24]

Тому C = [C11, C12], [C21, C22] = [19 22 15 18], [27 30 21 24].

Алгоритм Штрассена є важливим алгоритмом для множення матриць, який знайшов широке застосування в різних областях. Він забезпечує значне поліпшення швидкості для великих матриць, але для малих матриць існують більш ефективні методи.

Поширені запитання

1. Що таке алгоритм Штрассена?
   • Алгоритм для швидкого множення матриць, розроблений Фолькером Штрассеном у 1969 році.
2. Які переваги алгоритму Штрассена?
   • Швидше за стандартний метод для великих матриць, відносно легко реалізувати.
3. Які недоліки алгоритму Штрассена?
   • Менш ефективний для малих матриць, ніж існують більш швидкі алгоритми.
4. Як працює алгоритм Штрассена?
   • Розбиває матриці на підматриці, перемножує їх і об'єднує рекурсивно.
5. Які застосування алгоритму Штрассена?
   • Обробка зображень, криптографія, машинне навчання та інші області, де потрібно множити великі матриці.

Залишити коментар

Опубліковано Максим на 09 05 2024. Поданий під Вікі. Ви можете слідкувати за будь-якими відповідями через RSS 2.0. Ви можете подивитись до кінця і залишити відповідь.