Правило добутку
Завдання
Вивести й продемонструвати правило добутку, також відоме як тотожність Лейбніца, для диференціальних операторів.
Визначення
Правило добутку — це математичне правило, яке показує, як диференціювати добуток двох функцій. Застосовується до похідних та інтегралів, зокрема до диференціальних операторів.
Формулювання
Нехай (f) та (g) — дві диференційовні функції. Правило добутку стверджує, що похідна їхнього добутку дорівнює:
$$(fg)' = f'g + fg'$$
де (f') та (g') — похідні (f) та (g) відповідно.
Виведення
Щоб вивести правило добутку, застосуємо визначення похідної:
$$(fg)' = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x+h) – f(x)g(x)}{h}$$
Розкладаємо чисельник як суму:
$$(fg)' = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x+h) – f(x+h)g(x) + f(x+h)g(x) – f(x)g(x)}{h}$$
Виносимо спільні множники за дужки:
$$(fg)' = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)(g(x+h)-g(x)) + g(x)(f(x+h)-f(x))}{h}$$
Використовуємо визначення похідної для обох дужок:
$$(fg)' = \lim_{h \to 0} f(x+h)\frac{g(x+h)-g(x)}{h} + g(x)\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
Виносимо межі:
$$(fg)' = f(x)g'(x) + g(x)f'(x)$$
Таким чином, отримуємо формулювання правила добутку.
Приклади
- Нехай (f(x) = x^2) та (g(x) = e^x). Тоді:
$$(fg)' = (x^2e^x)' = x^2(e^x)' + e^x(x^2)' = 2xe^x + x^2e^x$$
- Нехай (f(x) = \sin x) та (g(x) = \cos x). Тоді:
$$(fg)' = (\sin x \cos x)' = \sin x(\cos x)' + \cos x(\sin x)' = \sin x(-\sin x) + \cos x(\cos x) = \cos^2 x – \sin^2 x$$
Інтегральне правило добутку
Правило добутку також можна застосувати до інтегралів. Інтеграл добутку двох функцій дорівнює згортці їхніх інтегралів:
$$\int fg = f \ast g = \int_{-\infty}^\infty f(\tau)g(t-\tau) d\tau$$
де (f \ast g) — згортка функцій (f) та (g).
Застосування
Правило добутку широко застосовується в математиці, зокрема:
- Вирішення диференціальних рівнянь
- Обчислення інтегралів
- Знаходження наближень за допомогою ряду Тейлора
- Матрична алгебра
- Теорія операторів
Правило добутку — потужне правило диференціювання, яке дозволяє обчислювати похідні складних функцій. Воно також має застосування в інтегралах та інших математичних операціях.
Запитання, що часто задаються
- Яке формулювання правила добутку?
(fg)' = f'g + fg'
- Які приклади застосування правила добутку?
Вирішення диференціальних рівнянь, обчислення інтегралів, наближення за допомогою ряду Тейлора.
- Як вивести правило добутку?
За допомогою визначення похідної.
- Яке інтегральне правило добутку?
$$\int fg = f \ast g = \int_{-\infty}^\infty f(\tau)g(t-\tau) d\tau$$
- Які обмеження має правило добутку?
Функції повинні бути диференційовними.
Опубліковано