Зовнішня міра

# вікіпедія, Популярність: помірна

Зовнішня міра в теорії міри: розширюючи межі вимірювання множин

Що таке зовнішня міра?

У математиці, зокрема в теорії міри, зовнішня міра — це функція, визначена на всіх підмножинах даної множини, що дозволяє оцінити їхній розмір, навіть якщо вони не є вимірними. Розгляньмо це наочніше: уявіть собі набір точок на площині. Звичайна міра розкаже нам про сумарну довжину всіх відрізків між точками. Однак якщо точки розташовані хаотично або навіть утворюють фрактальну структуру, звичайна міра може виявитися безсилою. Тут на допомогу приходить зовнішня міра, яка оцінює “потенційну” довжину всіх можливих відрізків між точками, навіть якщо деякі з них перетинаються або не мають чітко визначеної довжини.

Технічні умови

Зовнішня міра m* на множині X задовольняє наступним умовам:

1. Непустота: m*(∅) = 0, де ∅ – порожня множина.
2. Монотонність: Якщо A ⊆ B, то m*(A) ≤ m*(B).
3. Скінченна аддитивність: Якщо A1, A2, … , An – парами непересічні підмножини множини X, то m*(A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An) ≤ m*(A1) + m*(A2) + … + m*(An).

Приклади зовнішніх мір

1. 1-мірна зовнішня міра Лебега: оцінює довжину відрізків або більш загально, жорданових вимірюваних множин на прямій.
2. 2-мірна зовнішня міра Лебега: вимірює площу фігур на площині, навіть якщо вони не є многокутниками або мають нескінченне число сторін.
3. 3-мірна зовнішня міра Лебега: визначає об’єм тіл у тривимірному просторі, навіть якщо вони мають складну форму або містять порожнини.

Використання зовнішньої міри

Зовнішня міра широко використовується в аналізі, теорії ймовірності, геометрії та інших галузях математики:

1. Побудова мір: Зовнішню міру можна використати для побудови звичайних мір на множинах, які не є вимірними в класичному сенсі.
2. Визначення інтегралів: За допомогою зовнішньої міри можна визначити інтеграли функцій, визначених на вимірних та невимірних множинах.
3. Фрактальна геометрія: Зовнішня міра використовується для вимірювання розмірності фрактальних множин, які мають нецілісні розмірності.

Висновки

Зовнішня міра розширює можливості вимірювання множин і знаходить застосування в багатьох галузях математики. Її властивості гарантують послідовність та коректність вимірювань, навіть для складних геометричних фігур.

Часто задавані питання

1. Чим відрізняється зовнішня міра від звичайної міри?
– Зовнішня міра оцінює “потенційний” розмір множини, включаючи невимірні підмножини, тоді як звичайна міра визначається лише для вимірних множин.
2. Як використовується зовнішня міра у фрактальній геометрії?
– Зовнішня міра використовується для визначення розмірності фрактальних множин, які мають нецілісні розмірності.
3. Які приклади застосування зовнішньої міри в аналізі?
– Зовнішня міра використовується для побудови мір на множинах, визначення інтегралів та вивчення мірності множин.
4. Чи можуть зовнішні міри приймати значення нескінченності?
– Так, зовнішні міри можуть приймати значення нескінченності для деяких множин.
5. Наскільки складно працювати із зовнішніми мірами у практичних задачах?
– Хоча теоретичні основи зовнішніх мір можуть бути складними, їх практичне застосування часто передбачає використання готових формул та алгоритмів.

Залишити коментар

Опубліковано Максим на 30 12 2023. Поданий під Вікі. Ви можете слідкувати за будь-якими відповідями через RSS 2.0. Ви можете подивитись до кінця і залишити відповідь.