Нерівність Бесселя

Нерівність Бесселя: Твердження та Застосування в Гільбертових Просторових

У математиці, нерівність Бесселя, названа на честь Фрідріха Вільгельма Бесселя, є твердженням у гільбертовому просторі, яке встановлює зв'язок між коефіцієнтами елемента та нормою ортонормованої послідовності.

Твердження Нерівності Бесселя

Для послідовності ${\displaystyle {e_1, e_2, \dots, e_n}}$ ортонормованих векторів у гільбертовому просторі ${\displaystyle H}$ і будь-якого вектора ${\displaystyle x\in H}$, коефіцієнти ${\displaystyle (x, e_i)}$ задовольняють нерівність:

$$\sum_{i=1}^n |(x, e_i)|^2 \leq |x|^2$$

де ${\displaystyle |\cdot|}$ позначає норму в гільбертовому просторі.

Доведення Нерівності Бесселя

Доведення спирається на ортонормованість векторів:

$$(e_i, e_j) = \begin{cases} 1 & \text{якщо } i = j, \\ 0 & \text{якщо } i \neq j. \end{cases}$$

Тоді, для довільного вектора ${\displaystyle x}$:

$$\begin{aligned} \sum_{i=1}^n |(x, e_i)|^2 &= \sum_{i=1}^n (x, e_i)(\overline{x}, e_i) \\ &= (x, \sum_{i=1}^n e_i \overline{e_i} x) \\ &= (x, x) \\ &= |x|^2. \end{aligned}$$

Застосування Нерівності Бесселя

Нерівність Бесселя має численні застосування в аналізі, зокрема:

• Рівність Парсеваля: Коли послідовність ${\displaystyle {e_i}}$ є базисом Гільбертового простору, тоді нерівність Бесселя стає рівністю Парсеваля, яка стверджує, що:

$$\sum_{i=1}^\infty |(x, e_i)|^2 = |x|^2.$$

• Збіжність рядів Фур'є: Нерівність Бесселя використовується для доведення збіжності рядів Фур'є в гільбертових просторах.
• Апроксимація функцій: Нерівність Бесселя може бути використана для побудови найкращих апроксимацій функцій за допомогою ортонормованих систем.
• Побудова ортогональних доповнень: Нерівність Бесселя використовується для побудови ортогональних доповнень підпросторів у гільбертових просторах.
• Доведення нерівностей Каучі-Шварца та трикутника: Нерівність Бесселя є більш загальною формою нерівності Каучі-Шварца та нерівності трикутника.

Нерівність Бесселя є фундаментальним твердженням у теорії гільбертових просторів. Вона встановлює зв'язок між коефіцієнтами елемента та ортонормованою послідовністю, що має численні застосування в аналізі.

Часто задавані питання

1. Яке твердження нерівності Бесселя?
2. Для яких типів послідовностей застосовується нерівність Бесселя?
3. Які застосування нерівності Бесселя в аналізі?
4. Як нерівність Бесселя пов'язана з нерівністю Каучі-Шварца?
5. У яких галузях математики нерівність Бесселя має важливість?

Залишити коментар

Опубліковано Максим на 30 05 2024. Поданий під Вікі. Ви можете слідкувати за будь-якими відповідями через RSS 2.0. Ви можете подивитись до кінця і залишити відповідь.